Hallo Oliwa
Zu Luzern kann ich dir ein paar Tipps geben. Luzern Stadt selbst ist recht teuer und schwierig eine Wohnung zu bekommen. Aber drum herum wird es einfacher. Schau mal Kriens, Littau, Emmen oder Emmenbrücke da wird es etwas einfacher. Gerade für den Übergang sollte das ganz gut sein. Ab und an gibt es befristete Wohnungen zur Vermietung, dass könnte für dich gut sein, da sich darauf nicht so viele bewerben.
Besondere Schwierigkeiten für Deutsche bei der Wohnungssuche habe ich nicht gespürt. Ist für alle nicht so einfach. Am Anfang ist es als Ausländer schwieriger, da für den Vermieter schlecht einzuschätzen ist wie lange du bleibst und du noch keine richtige Referenzen vorweisen kannst. Am besten ein persönliches Anschreiben zur Wohnungsbewerbung legen.
Für deine Frau sehe ich keine Schwierigkeiten. Im medizinischen Sektor gibt es auch eine Menge deutsche Ärzte. Einzig mit der Sprache sollte sie sich schon früh beschäftigen. Schweizerdeutsch zu verstehen ist denke ich in ihrem Beruf sehr wichtig.
Beim Amt musst du dich unbedingt melden. Du brauchst deine Aufenthaltserlaubnis (Ausländerausweis) und ein späterer Umzug ist kein Problem. Dann bekommst du einfach einen neuen Ausländerausweis ausgestellt. In der Schweiz ist wie in Deutschland alles recht bürokratisch, dafür auch klar geregelt.
Fettnäpfchen gibt es viele und man wird sicher immer mal welche erwischen. Ist ein grosses Thema. Etwas einfacher hat man es, wenn man etwas zurückhaltender auftritt und nicht alles mit Deutschland vergleicht. Auf die EU sind viele Schweizer nicht besonders gut zu sprechen. Viele Türen öffnet einem ehrliches Interesse an der Schweizer Kultur.
Ich hoffe, dass hilft euch etwas fürs Erste. Für Alle Fragen ist das Forum gern da.
Viel Erfolg bei der Wohnungssuche
Gruss Maik